Nace en Monforte de Lemos (Lugo) en el año 1877. Sentenciado a muerte por consejo de guerra y ejecutado en Barcelona el 12 de mayo de 1939 por el régimen franquista.

Hijo de Gregorio Elola, profesor de música en Vigo, y de Isabel Díaz-Varela.

En 1903 se licencia en Derecho por la Universidad de Santiago de Compostela. Aprueba la oposición a la carrera judicial y fiscal en 1905.

En 1906 toma posesión de su primer destino en Luarca (Asturias) como Juez de Primera Instancia.  Durante el periodo 1908-1916, desempeña su función jurisdiccional en varios juzgados de Galicia y Cataluña (Sarria, Ponte Caldelas y La Bisbal), hasta que en 1916 es nombrado teniente fiscal de la Audiencia Provincial de Gerona. En 1920 alcanza la categoría de magistrado en la Audiencia Provincial de León.

En 1923 preside la Unión Judicial, una influyente asociación privada de la Magistratura, y ese mismo año es nombrado por el Directorio de Primo de Rivera como vocal de la Junta organizadora del Poder Judicial en 1923.

              Un año después es destinado al madrileño Juzgado de Instrucción del Distrito de Chamberí, escala previa para llegar a las magistraturas de la Audiencia Nacional y del Tribunal Supremo.

Representó a España en los Congresos Penales Internacionales de Bruselas (1926) y Bucarest (1929)

Con el advenimiento de la II República, Don Francisco Javier Elola es nombrado Fiscal General. Con él se inaugura la lista de fiscales generales de la República. Toma posesión del cargo el 16 de mayo de 1931 y lo ejerció hasta su dimisión el 25 de julio de ese año, para ser nombrado días después Magistrado del Tribunal Supremo.  Ese mismo año fue elegido diputado por Lugo en las elecciones a las Cortes Constituyentes, cargo que simultaneó, no sin polémica, con su magistratura en el Tribunal Supremo. También formó parte de la Comisión Jurídica encargada de redactar el anteproyecto de la Constitución de 1931.

Tras el golpe de estado de julio de 1936 fue designado juez especial para instruir el sumario por rebelión con jurisdicción sobre todo el territorio nacional. Desempeño esta función, además de la presidencia de la Sala III del Tribunal Supremo, durante la guerra, trasladándose con el gobierno a Valencia y después en 1938 a Barcelona, donde fue detenido en febrero de 1939.

Condenado a muerte por un Consejo de Guerra en Barcelona, cuya sentencia fue ratificada el 18 de abril de 1939 por el Alto Tribunal de Justicia Militar en Valladolid, D. Francisco Javier Elola fue ejecutado el 12 de mayo de 1939 en Barcelona.